Задание 17 ЕГЭ 2024 по математике (профиль) - практика

07.04.2024

Сборник практических заданий №17 для ЕГЭ по профильной математике (профилю) в 2024 году. Сборник представляет из себя PDF файл, в котором собраны все задания этого типа. В конце документа приведены ответы и подробные решения (а также видеоразборы) для каждого задания, благодаря которым вы сможете проверить себя.

Подробно разберёмся, как решать любые задания такого типа на ЕГЭ, и потренируемся на практике. Обсудить решение заданий вы можете в комментариях ниже.

Примеры заданий №17 — планиметрическая задача

Пример №1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 продолжения высоты 𝐶𝐶1 и биссектрисы 𝐵𝐵1 пересекают описанную окружность в точках 𝑁 и 𝑀 соответственно, ∠𝐴𝐵𝐶 = 40°, ∠𝐴𝐶𝐵 = 85°. а) Докажите, что 𝐵𝑀 = 𝐶𝑁. б) Прямые 𝐵𝐶 и 𝑀𝑁 пересекаются в точке 𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐵𝐷𝑁, если его высота 𝐵𝐻 равна 7.

Ответ: 70

Пример №2. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена биссектриса 𝐴𝑀. Прямая, проходящая через вершину 𝐵 перпендикулярно 𝐴𝑀, пересекает сторону 𝐴𝐶 в точке 𝑁; 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐶 = 9. а) Докажите, что биссектриса угла 𝐶 делит отрезок 𝑀𝑁 пополам. б) Пусть 𝑃 − точка пересечения биссектрис треугольника 𝐴𝐵𝐶. Найдите отношение 𝐴𝑃: 𝑃𝑁.

Ответ: 1,5

Пример №3. Боковые стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 равнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 вдвое больше основания 𝐵𝐶. На боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отложены отрезки 𝐴𝑃 и 𝐶𝑄 соответственно, равные четверти этих сторон. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой 𝑃𝑄 в отношении 1:3. б) Найдите длину отрезка прямой 𝑃𝑄, заключенного внутри вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐵𝐶 = 4√19.

Ответ: 47

Пример №4. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке 𝐿. Прямая, проходящая через точку 𝐿 и середину 𝑁 гипотенузы 𝐴𝐵, пересекает катет 𝐵𝐶 в точке 𝑀. а) Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐿 = ∠𝐵𝐴𝐶. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 20 и 𝐶𝑀 = 3√5

Ответ: 124

Пример №5. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴𝐵𝐶 тупой, 𝐻 − точка пересечения продолжений высот, угол 𝐴𝐻𝐶 равен 60°. а) Докажите, что угол 𝐴𝐵𝐶 равен 120°. б) Найдите 𝐵𝐻, если 𝐴𝐵 = 7, 𝐵𝐶 = 8.

Ответ: 55

Пример №6. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 известны стороны и диагональ: 𝐴𝐵 = 3, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 5, 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐶 = 7. а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. б) Найдите 𝐵𝐷.

Ответ: 2

Пример №7. В окружность вписана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐷 − большее основание, проведена высота 𝐵𝐻, вторично пересекающая окружность в точке 𝐾. а) Докажите, что 𝐴𝐶 перпендикулярна 𝐴𝐾. б) Найдите 𝐴𝐷, если радиус описанной окружности равен 12, ∠𝐵𝐴𝐶 = 30°, 𝐶𝐾 пересекает основание 𝐴𝐷 в точке 𝑁. Площадь четырёхугольника 𝐵𝐻𝑁𝐶 в 8 раз больше, чем площадь треугольника 𝐾𝐻𝑁.

Ответ: 20

Пример №8. Высоты 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐻. а) Докажите, что ∠𝐴𝐻𝐵1 = ∠𝐴𝐶𝐵. б) Найдите 𝐵𝐶, если 𝐴𝐻 = 4 и ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°.

Ответ: 38,75

Пример №9. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 и 𝑁 − середины сторон 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷 соответственно. Площади четырёхугольников 𝐴𝐵𝐿𝑁 и 𝑁𝐿𝐶𝐷 равны, а площади четырёхугольников 𝐾𝐵𝐶𝑀 и 𝐴𝐾𝑀𝐷 относятся как 11:17. а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите отношение 𝐵𝐶 к 𝐴𝐷.

Ответ: 0,4

Пример №10. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐶𝐶1 и медиану 𝐴𝐴1 . Оказалось, что точки 𝐴, 𝐴1 , 𝐶, 𝐶1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐴1 : 𝐶𝐶1 = 3: 2 и 𝐴1𝐶1 = 2.

Ответ: 46

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Решение всех заданий №17 из банка ФИПИ по профильной математике

Сохранить ссылку:

Комментарии (0) Добавить комментарий

У вас недостаточно прав для комментирования