Задание 14 ЕГЭ 2024 по математике (профиль) - практика

07.04.2024

Сборник практических заданий №14 для ЕГЭ по профильной математике (профилю) в 2024 году. Сборник представляет из себя PDF файл, в котором собраны все задания этого типа. В конце документа приведены ответы и подробные решения (а также видеоразборы) для каждого задания, благодаря которым вы сможете проверить себя.

Подробно разберёмся, как решать любые задания такого типа на ЕГЭ, и потренируемся на практике. Обсудить решение заданий вы можете в комментариях ниже.

Примеры заданий №14 — стереометрическая задача

Пример №1. В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 отмечены середины 𝑀 и 𝑁 отрезков 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно. а) Докажите, что прямые 𝐵1𝑁 и 𝐶𝑀 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если 𝐵1𝑁 = 3√5

Ответ: 2

Пример №2. В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 все рёбра равны 7. На его ребре 𝐵𝐵1 отмечена точка 𝐾 так, что 𝐾𝐵 = 4. Через точки 𝐾 и 𝐶1 проведена плоскость 𝛼, параллельная прямой 𝐵𝐷1 . а) Докажите, что 𝐴1𝑃: 𝑃𝐵1 = 1: 3, где 𝑃 − точка пересечения плоскости 𝛼 с ребром 𝐴1𝐵1 . б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью 𝛼.

Ответ: 2597/8

Пример №3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 на диагонали 𝐵𝐷1 отмечена точка 𝑁 так, что 𝐵𝑁: 𝑁𝐷1 = 1: 2. Точка 𝑂 − середина отрезка 𝐶𝐵1 . а) Докажите, что прямая 𝑁𝑂 проходит через точку 𝐴. б) Найдите объём параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 , если длина отрезка 𝑁𝑂 равна расстоянию между прямыми 𝐵𝐷1 и 𝐶𝐵1 и равна √2.

Ответ: 24√3

Пример №4. Ребро куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равно 6. Точки 𝐾, 𝐿 и 𝑀 − центры граней 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐴1𝐷1𝐷 и 𝐶𝐶1𝐷1𝐷 соответственно. а) Докажите, что 𝐵1𝐾𝐿𝑀 − правильная пирамида. б) Найдите объём 𝐵1𝐾𝐿𝑀.

Ответ: 18

Пример №5. Точка 𝑂 − точка пересечения диагоналей 𝐷𝐶1 и 𝐶𝐷1 грани 𝐶𝐶1𝐷1𝐷 наклонного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 . а) Докажите, что объём многогранника 𝑂𝐴𝐵𝐵1𝐴1 вдвое больше объёма многогранника 𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷. б) Найдите объём многогранника 𝑂𝐴𝐵𝐵1𝐴1 , если 𝐴𝐵𝐶𝐷 является прямоугольником, 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 3, 𝐶𝐶1 = 7, а прямая 𝐶𝐴1 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶.

Ответ: 12

Пример №6. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 12 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 4, а 𝐵1𝑄 = 3. Плоскость 𝐴𝑃𝑄 пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑀. а) Докажите, что точка 𝑀 является серединой ребра 𝐶𝐶1 . б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐴𝑃𝑄.

Ответ: 12√26/13

Пример №7. Дана прямая призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 , в основании которой лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵. На 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃: 𝑃𝐵 = 3: 1. Точка 𝑄 делит пополам ребро 𝐵1𝐶1 . Точка 𝑀 делит пополам ребро 𝐵𝐶. Через точку 𝑀 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная 𝑃𝑄. а) Докажите, что прямая 𝐴𝐵 параллельна плоскости 𝛼. б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит отрезок 𝑃𝑄, если 𝐴𝐴1 = 5, 𝐴𝐵 = 12, cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 3/5 .

Ответ: 16:25

Пример №8. На рёбрах 𝐷𝐷1 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 12 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 10, а 𝐵1𝑄 = 4. Плоскость 𝐴1𝑃𝑄 пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑀. а) Докажите, что точка 𝑀 является серединой ребра 𝐶𝐶1 . б) Найдите расстояние от точки 𝐶1 до плоскости 𝐴1𝑃𝑄.

Ответ: 36√41/41

Пример №9. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 точка 𝑀 − середина ребра 𝐶𝐶1 . На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 взяты точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐴𝐾:𝐾𝐵 = 𝐵1𝑁: 𝑁𝐴1 . а) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝑁 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐴1𝐵1 . б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 𝑀𝐾𝑁, если 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵1 = 42 и 𝐵𝐾:𝐾𝐴 = 41: 1.

Ответ: 638√3

Пример №10. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵 = 6√2, 𝐴𝐷 = 10, 𝐴𝐴1 = 16. На рёбрах 𝐴𝐴1 и 𝐵𝐵1 отмечены точки 𝐸 и 𝐹 соответственно, причём 𝐴1𝐸: 𝐸𝐴 = 5: 3 и 𝐵1𝐹: 𝐹𝐵 = 5: 11. Точка 𝑇 − середина ребра 𝐵1𝐶1 . а) Докажите, что плоскость 𝐸𝐹𝑇 проходит через точку 𝐷1 . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью 𝐸𝐹�

Ответ: 97,5

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Решение всех заданий №14 из банка ФИПИ по профильной математике

Сохранить ссылку:

Комментарии (0) Добавить комментарий

У вас недостаточно прав для комментирования